Zjednotenie (matematika)

Zjednotenie množín A a B zobrazené pomocou Vennovho diagramu

V matematike sa ako zjednotenie dvoch alebo viacerých množín označuje taká množina, ktorá obsahuje všetky prvky, ktoré sa nachádzajú aspoň v jednej zo zjednocovaných množín a žiadne ďalšie prvky. Zjednotenie množín A a B sa označuje symbolom A ∪ B.

Formálny zápis

Zjednotenie dvoch množín A a B:

$x\in A\cup B\iff (x\in A\lor x\in B)$

Všeobecný zápis zjednotenia nekonečného počtu množín M:

$x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A{\in }\mathbf {M} ,x\in A.$

Vlastnosti

Operácia zjednotenia množín je asociatívna, tzn. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). Zároveň je A ∪ B ∪ C rovno obidvom týmto výrazom, takže zjednotenia množín je možné zapisovať bez použitia zátvoriek.

Zjednotenie je tiež komutatívne, tzn. A ∪ B = B ∪ A. Pri zápise zjednotenia množín teda nezávisí na poradí množín.

Neutrálnym prvkom zjednotenia je prázdna množina, tzn. A ∪ ∅ = A pre ľubovolnú množinu A.

Príklady

{ 1, 2, 3 } ∪ { 2, 3, 4 } = { 1, 2, 3, 4 }

{ a, b } ∪ { x, y, z } = { a, b, x, y, z }

{ 1, 2, 4, 6, ... } ∪ { 1, 3, 5, 7, ... } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }

Externé odkazy

• Zjednotenie množín na pohodovamatematika.sk