Konvexná množina

Konvexná množina M

Nekonvexná množina N

Mnohosten: a) konvexný, b) nekonvexný

Konvexná množina je v matematike zvyčajne podmnožina Euklidovského priestoru alebo reálneho afinitného priestoru, ktorá má následujúce vlastnosti:

• úsečka spájajúca ľubovoľné dva body tejto množiny je obsiahnutá v danej množine.

Ide teda o množinu M takú, že pre všetky body $A,B\in \mathbf {M}$ platí

$AB\subseteq \mathbf {M} .$

Analyticky to možno všeobecne vyjadriť tak, že pre všetky $a,b\in \mathbf {M}$ je splnená podmienka

${\overline {ab}}:=\{\lambda a+(1-\lambda )b\mid 0\leq \lambda \leq 1\}\subseteq M.$

Ak si predstavíme hranicu množiny ako nepriehľadnú a vnútro množiny ako priehľadné, znamená konvexnosť množiny názorne to, že z každého jej bodu je vidieť každý jej bod.

Príklady

• úsečka, priamka, rovina aj celý priestor sú konvexné
• polpriamka, polrovina i polpriestor sú konvexné
• uhol je konvexný, práve keď jeho veľkosť je najviac 180° (je to potom prienik dvoch polrovín alebo polpriamok)
• každý trojuholník, rovnobežník aj lichobežník je konvexný, štvoruholník už konvexný byť nemusí.
• mnohouholník je konvexný, ak každý jeho vnútorný uhol má najviac 180°.
• kváder aj ihlan sú konvexné
• kruh a guľa sú konvexné
• kružnica ani guľová plocha nie sú konvexné
• žiadna krivka ani plocha nie je konvexná, okrem časti priamky a roviny.

Vlastnosti

• Prienik ľubovoľného súboru konvexných množín je konvexný. To umožňuje pre ľubovoľnú množinu definovať jej konvexný obal ako prienik všetkých ich konvexných nadmnožín. Je to jej najmenšia konvexná nadmnožina (v zmysle inklúzie).
• Každá konvexná množina je aj hviezdicovito konvexná množina.
• Konvexná množina je (oblúkovito) súvislá.
• Zjednotenie konvexných množín všeobecne nie je konvexné, napr. zjednotenie dvoch rôznych jednobodových množín nie je konvexné.
• Ak je konvexná množina vo vektorovom priestore a z nej ľubovoľne vyberieme nejaké vektory. Potom táto množina obsahuje všetky možné konvexné kombinácie týchto vektorov. Alebo, konvexná množina je uzavrená na konvexnú kombináciu svojich prvkov.

Pozri aj

• Konvexné funkcie
• oblúkovito súvislá množina
• Geometrický útvar
• Úsečka
• Krivka

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Konvexní množina na českej Wikipédii.

• Vybrané kapitoly z konvexnej geometrie