Sínus

Graf funkcie sínus

O iných významoch výrazu Sínus pozri Sínus (rozlišovacia stránka).

Sínus patrí medzi goniometrické funkcie. V pravouhlom trojuholníku je definovaný ako pomer dĺžky protiľahlej odvesny k uhlu a dĺžky prepony trojuholníka. Graf funkcie sínus sa nazýva sínusoida alebo sínusovka.

Pôvod slova

Latinské slovo „Sinus“ znamená „ohyb, zakrivenie, alebo prsia“. V tomto význame bolo slovo prevzaté od arabských matematikov, ktorí si slovo „jiba“ (جيب) „vrecko, záhyb látky“ požičali od indických matematikov (Sanskrit „jiva“ ‘tetiva‘ - odvodené od zakriveného priebehu vlákna, ktoré je navinuté na palici vo forme závitu.).

Vlastnosti

Funkcia $y=\sin x\,\!$ má nasledujúce vlastnosti (kde k je ľubovoľné celé číslo):

• Definičný obor: $\mathbb {R}$ (reálne čísla)
• Obor hodnôt: $\langle -1;1\rangle$
• Funkcia je rastúca: v každom intervale $\langle -{\frac {\pi }{2}}+2k\pi ;{\frac {\pi }{2}}+2k\pi \rangle$
• Funkcia je klesajúca: v každom intervale $\langle {\frac {\pi }{2}}+2k\pi ;-{\frac {\pi }{2}}+2(k+1)\pi \rangle$
• Funkcia nadobúda maximum rovné 1 v bode: ${\frac {\pi }{2}}+2k\pi$
• Funkcia nadobúda minimum rovné -1 v bode: $-{\frac {\pi }{2}}+2k\pi$
• Derivácia funkcie: $y'=\cos x\,\!$
• Integrál: $\int \sin x\,\mathrm {d} x=-\cos x+c$
• Taylorov rad: $\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$, rovnosť platí pre všetky reálne čísla
• Inverzná funkcia: arkus sínus (arcsin), je to inverzná funkcia k funkcii sínus zúženej na interval $[-\pi /2,+\pi /2]$
• Sínus je funkcia:
  • nepárna
  • ohraničená zhora i zdola
  • periodická s periódou $2\pi$

Sínus v komplexnom obore

Funkcia sínus je v komplexných číslach definovaná súčtom radu

$\sin z=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}},$

ktorý konverguje na celej komplexnej rovine. Pre každé dve komplexné čísla z₁,z₂ platí:

$\sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}},$

$\sin \left(z_{1}+z_{2}\right)=\sin z_{1}\cos z_{2}+\cos z_{1}\sin z_{2},$

$\sin iz=i\sinh z,\,$

Tieto vzorce vyplývajú priamo z príslušných definičných mocninových radov daných funkciou. Sínus je na celej komplexnej rovine jednoznačná holomorfná funkcia.

Sínus ako riešenie diferenciálnej rovnice

Niekedy je výhodné definovať funkciu sínus ako riešenie Cauchyho úlohy

$y''(x)+y(x)=0,\ y(0)=0,y'(0)=1.$

Pozri aj

• Sínusová veta

Externé odkazy

• Funkcia sínus
• Funkcia sínus

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Sínus