Portál:Matematika/Odporúčané články/2011

Toto je archív odporúčaných článkov za rok 2011.

Index

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52

1/2011

Taylorov rad funkcie f premennej x v bode a je potenčný rad (mocninový rad) so stredom a tvaru

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

pričom

• n=0, 1, 2....
• n sa blíži k nekonečnu
• f⁽ⁿ⁾(a) je n-tá derivácia funkcie f v bode a
• f má v okolí bodu a derivácie všetkých rádov

Taylorov rozvoj (funkcie f premennej x v bode a) je Taylorov rad, pre ktorý platí, že jeho súčet (teda výsledná hodnota) v okolí bodu a sa rovná f(x). Maclaurinov rad je Taylorov rad so stredom v a=0.

Účel

Mnoho značne zložitých funkcií je ťažké predstaviť si, zobraziť ich, prípadne odhadnúť ich funkčné hodnoty. Taktiež elementárne funkcie ako napríklad sínus, cosínus, nadobúdajú najmä iracionálne hodnoty, ktoré nemožno presne vyčísliť, niekedy ani odhadnúť. Formálne definovať tieto základné goniometrické funkcie a mnohé iné umožňuje práve Taylorov rad. Napríklad pre funkciu sínus platí odhad v okolí nuly

$\sin x\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}$

Táto aproximácia je veľmi silná. Pri výpočte hodnôt funkcie sínus v okolí nuly, možno počítať s veľmi malou chybou. Na prelome 17. a 18. storočia sa viacerí matematici pokúšali nahradiť funkciu nejakou jednoduchšou. Za najjednoduchšie sa všeobecne považujú polynomické funkcie, respektíve polynómy. Vybudovanie teórie, ktorá umožňovala aproximáciu funkcií práve polynómami, však vyžadovala poznatky z vyššej matematiky, hlavne diferenciálneho počtu. Teóriu nezávisle od seba budovali Brook Taylor a Colin Maclaurin. Táto teória umožňuje zapísať, za určitých predpokladov, funkciu ako súčet nekonečného mocninového radu, ktorý sa nazýva Taylorov rad.

Celý článok...

2/2011

Topologický priestor je matematická štruktúra, ktorá umožňuje formalizovať a zovšeobecniť koncepty ako konvergencia, spojitosť, či kompaktnosť. Tieto sú definované na základe vzťahov medzi množinami, na rozdiel od metrických priestorov, kde sa definujú pomocou vzdialenosti. Topologické priestory sa ako formalizácia vyskytujú takmer vo všetkých oblastiach matematiky. Sú predmetom štúdia topológie.

Klasická definícia

Topologický priestor je usporiadaná dvojica $(X,\tau )$, kde X je množina a $\tau$, ktorej prvky sa nazývajú aj otvorené množiny, je množina podmnožín X, pre ktorú sú splnené nasledujúce tri podmienky:

1. Prázdna množina a množina X sú otvorené, teda

   $\emptyset \in \tau \qquad X\in \tau .$

2. Zjednotenie ľubovoľného počtu otvorených množín je otvorená množina, teda pre každé $S\subseteq \tau$:

   $\bigcup _{Y\in S}Y\in \tau .$

3. Prienik každých dvoch otvorených množín je otvorená množina, teda

   $A\in \tau \ \land \ B\in \tau \Rightarrow A\cap B\in \tau .$

Tretia podmienka je ekvivalentná s podmienkou, ktorá hovorí, že prienik ľubovoľného konečného počtu otvorených množín je otvorená množina.

Množina $\tau$ sa nazýva aj topológia na množine X, toto pomenovanie má však odlišný význam ako názov topológia v zmysle vedy o topologických priestoroch. Prvky množiny X sa zvyčajne nazývajú body, podmnožiny X patriace do $\tau$ sa nazývajú otvorené množiny, každý komplement otvorenej množiny sa nazýva uzavretá množina.

Je dôležité si uvedomiť, že množina uzavretých množín v X nie je to isté ako $\tau ^{C}$. Množina totiž môže byť otvorená aj uzavretá súčasne. Takýmito množinami sú napríklad $\emptyset$ alebo X, keďže sú komplementárne (pracuje sa s univerzom X) a zároveň otvorené (z definície topologického priestoru).

Celý článok...

3/2011

Lagrangeov polynóm, pomenovaný podľa Josepha Louisa Lagrangea, je v numerickej matematike interpolujúci polynóm pre danú množinu bodov v Lagrangeovom tvare. V roku 1779 ho objavil Edward Waring a v roku 1783 ho znovuobjavil Leonhard Euler.

Je povšimnutia hodné, že pre danú množinu bodov existuje len jeden polynóm (najmenšieho možného stupňa), ktorý interpoluje dané body. Preto je správnejšie o Lagrangeovom polynóme hovoriť ako o Lagrangeovom tvare interpolujúceho polynómu, než o Lagrangeovom interpolujúcom polynóme.

Definícia

Nech je daná množina k + 1 bodov

$(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})$

kde žiadne dve hodnoty $x_{j}$ nie sú rovnaké. Potom interpolujúci polynóm v Lagrangeovom tvare pre túto množinu bodov je lineárna kombinácia

$L(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x)$

Lagrangeových bázických polynómov

$\ell _{j}(x):=\prod _{f=0,\,f\neq j}^{k}{\frac {x-x_{f}}{x_{j}-x_{f}}}.$

Je povšimnutia hodné, že za predpokladu, že žiadne dve hodnoty $x_{i}$ nie sú rovnaké (a to ani nemôžu byť, keďže by daná úloha nedávala zmysel), platí $x_{j}-x_{f}\neq 0$, čiže daný výraz je vždy dobre definovaný.

Celý článok...

4/2011

Riemannov integrál, pomenovaný podľa nemeckého matematika Bernharda Riemanna, je v matematickej analýze historický prvá rigorózna definícia pojmu integrál funkcie na intervale. Aj keď je Riemannov integrál pre niektoré teoretické úlohy menej vhodný, je to jedna z najjednoduchších definícii integrálu. Niektoré z týchto technických ťažkostí sa dajú vyriešiť Riemannovým-Stieltjesovým integrálom a väčšina z nich Lebesgueovým integrálom.

Úvod

Nech $f(x)$ je nezáporná reálna funkcia na intervale $[a,b]$ a nech $S=\{(x,y)|0<y<f(x)\}$ je plocha pod touto funkciou na intervale $[a,b]$ (pozri Obrázok 2). Zaujíma nás obsah plochy $S$. Hneď ako ju vypočítame, označíme ju symbolom:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

Základnou myšlienkou Riemannovho integrálu je použiť veľmi jednoduché aproximácie tejto plochy. Získaním stále lepších a lepších aproximácií môžeme povedať, že "v limite" dostaneme presne plochu $S$ pod krivkou.

Je potrebné poznamenať, že na intervaloch, kde funkcia $f$ môže nadobúdať tak kladné, ako aj záporné hodnoty, integrál bude korešpondovať so znamienkovým obsahom, čiže obsahom plochy nad osou $x$ mínus obsahom plochy pod ňou.

Celý článok...

5/2011

Komplexné čísla sú zovšeobecnením pojmu reálneho čísla. V obore reálnych čísel nemajú všetky polynomiálne rovnice riešenie. Ak sa číslo i definuje ako riešenie rovnice $x^{2}=-1$, potom všetky polynomiálne (algebrické) rovnice riešenie mať budú.

Reálne čísla

Reálne čísla sa nachádzajú v jednom rade usporiadané podľa veľkosti. Tento rad reálnych čísel sa nazýva číselná os. Číselná os má rozmedzie od mínus nekonečna až po plus nekonečno. Túto os je možné predstaviť si ako priamku, ktorá leží v rovine. Logicky tak vznikne možnosť, že aj v iných bodoch roviny okrem bodov tejto priamky je možné nájsť nejaké čísla.

Imaginárne čísla

V iných miestach roviny sa nachádzajú čísla, ktoré nazývame imaginárne čísla. Spolu so všetkými reálnymi číslami tvoria množinu všetkých komplexných čísel. Definoval ich nemecký matematik Gauss a podľa neho sa aj táto rovina čísel pomenovala Gaussova rovina. Túto rovinu rozdeľujú dve osi — už spomínaná číselná os, ktorá sa v grafoch stotožňuje s osou x (reálna os) a na ňu kolmú os y (imaginárna os). Obe tieto osi sa pretínajú v bode [0;0].

Celý článok...

6/2011

%

Percento je stotina z celku. Je to spôsob ako vyjadriť časť celku (čiže zlomok) pomocou celého čísla. Zápis napr. „45 %“ (45 percent) je v skutočnosti iba skratka pre zlomok 45/100, tzn. desatinné číslo 0,45. Názov pochádza z per cento, znamenajúceho (pripadajúci) na sto.

Príklady použitia

• 40% alkohol – V každom litri tejto tekutiny je 0,4 litra alkoholu (a zvyšok, čiže 60%, tvoria iné látky – tzv. objemové percento)
• 15% zvýšenie ceny – Po tomto zvýšení stojí daná vec 1,15-násobok pôvodnej ceny; ak bola predtým cena 100 Sk, po zvýšení bude stáť 115 Sk.
• 15% zľava – Po zľave stojí vec 0,85-násobok (= 1 − 0,15) pôvodnej ceny; ak pred zľavou stála 100 Sk, po zľave stojí 85 Sk.
• 125 % priemeru – Daný parameter má hodnotu rovnú 1,25-násobku priemernej hodnoty; ak je priemer 200, má tento parameter hodnotu 250.
• 10 % ľudí… – Na každých 100 ľudí pripadá 10 ľudí, ktorí…
• 100% istota – Úplná istota, ak je pokusov sto, tak všetkých sto pokusov dopadne podľa daného očakávania (pozri aj pravdepodobnosť).
• 50 % – 50/100 = 1/2 = polovica
• 200 % – 200/100 = dvojnásobok

Označenie

Znak „%“ je štylizovaný symbol dvoch núl, v pôvodnej podobe (asi roku 1425) bol využitý podobný symbol (iba s vodorovnou čiarkou namiesto šikmej) pre skrátenie zápisu P cento; písmeno P neskôr vypadlo a používal sa samostatný symbol s vodorovnou čiarkou (asi roku 1650).

V slovenčine sa použitie znaku percenta riadi rovnakými pravidlami ako napr. symbol stupňa, takže napr. 10% (bez medzery medzi číslom a symbolom) znamená desaťpercentný (tzn. prídavné meno), 10 % (s medzerou) znamená desať percent (podstatné meno).

Celý článok...

7/2011

Riemannova zeta funkcia alebo Riemannova funkcia zeta je komplexná matematická funkcia pomenovaná po Bernhardovi Riemannovi a označovaná gréckym písmenom ζ, zohrávajúca mimoriadne dôležitú úlohu v analytickej teórii čísel. Má aplikácie aj vo fyzike, v teórii pravdepodobnosti a štatistike. Je ústredným pojmom v tzv. Riemannovej hypotéze, ktorá je jedným z najznámejších otvorených problémov v matematike.

Definícia

Riemannova zeta funkcia je definovaná ako súčet nekonečného radu

$\zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},$

ktorý konverguje pre všetky komplexné čísla s, ktorých reálna časť je väčšia ako 1. Riemann ale navrhol spôsob, ktorým je možné túto definíciu rozšíriť na všetky čísla komplexnej roviny rôzne od 1.

Riemannova zeta funkcia je meromorfná funkcia komplexnej premennej s, ktorá je holomorfná všade okrem bodu s = 1.

Celý článok...

8/2011

Integrálna rovnica je v matematike rovnica, v ktorej sa neznáma funkcia nachádza pod integrálom. Integrálne rovnice úzko súvisia s diferenciálnymi rovnicami a niektoré problémy môžu byť formulované oboma spôsobmi (napr. Maxwellove rovnice).

Za zakladateľa teórie integrálnych rovníc sa považuje Erik Ivar Fredholm, neskôr k nej významne prispel Vito Volterra.

Klasifikácia integrálnych rovníc

Integrálne rovnice možno rozdeliť na dve základné triedy: Fredholmove integrálne rovnice a Volterrove integrálne rovnice. Pri Fredholmových rovniciach má interval integrácie konštantné hranice, pri Volterrových rovniciach je jedna z hraníc funkciou premennej x.

Ďalšie delenie je na rovnice prvého a druhého druhu. V rovniciach prvého druhu sa neznáma funkcia nachádza len pod integrálom, v rovniciach druhého druhu sa nachádza pod integrálom aj mimo integrálu.

Fredholmove rovnice prvého druhu

Najzákladnejším typom integrálnych rovníc sú Fredholmove rovnice prvého druhu. Sú to integrálne rovnice tvaru

$f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt,$

kde $\varphi$ je neznáma funkcia, f je známa funkcia a K je ďalšia funkcia o dvoch premenných, často nazývaná aj jadrová funkcia. Rozsah integrácie má konštantné hranice.

Celý článok...

9/2011

Kombinácia, presnejšie kombinácia k – tej triedy z n prvkov množiny M je ľubovoľná k-prvková podmnožina n-prvkovej množiny M. Počet všetkých kombinácií k-tej triedy sa teda často využíva pri riešení úloh, kde je potrebné zistiť, koľkými spôsobmi možno vybrať spomedzi n prvkov skupinu k prvkov, pričom nezáleží na poradí výberu.

Takto definované kombinácie sa niekedy tiež označujú ako kobinácie bez opakovania, keďže koncept množiny a podmnožiny neumožňuje zachytiť fenomén opakovania prvkov. Existujú však aj kombinácie s opakovaním, ktorých počet je počet možností, ako vybrať k prvkov spomedzi n tak, že sa môžu aj opakovať.

Kombinácie bez opakovania

Definícia

Kombinácie bez opakovania k-tej triedy z n prvkov množiny M je ľubovoľná k-prvková podmnožina množiny M. Z toho vyplýva, že množinu všetkých kombinácií k-tej triedy z množiny M definujeme ako podmnožinu potenčnej množiny množiny M (označujeme P(M)) takú, že obsahuje práve všetky k-prvkové množiny patriace do tejto potenčnej množiny. Takúto podmnožinu označujeme $P_{k}(M)$. Platí teda, že množina všetkých kombinácií bez opakovania k-tej triedy z množiny M je definovaná ako:

${M \choose k}=P_{k}(M)$

Celý článok...

10/2011

Fraktál je geometrický objekt vybudovaný pomocou rekurzie. Ide o "nepravidelný, fragmentovaný geometrický tvar, ktorý môže byť rozdelený na časti, z ktorých je každá aspoň približne podobná, zmenšená kópia celého geometrického tvaru". Táto vlastnosť tiež býva nazývaná sebepodobnosť.

Najznámejšie fraktály sú Mandelbrotova množina a Juliova množina. Fraktály delíme na prírodné, geometrické, komplexné a náhodné. Termín fraktál použil po prvýkrát matematik Benoît Mandelbrot v roku 1975. Toto slovo pochádza z latinského fractus – rozbitý. Podobné objekty boli známe už aj dlho predtým (napríklad Kochova vločka v roku 1904).

Fraktály sú definované pomerne krátkou rekurzívnou definíciou, ako zakresliť ich body nad množinou komplexných čísel. Ide o objekt, ktorého Hausdorffova miera je väčšia než topologická dimenzia. To znamená, že fraktál nemá ako kocka 3 dimenzie (rozmery), ale jeho dimenzia je zväčša neceločíselná. Obsah fraktálov (resp. objem) je konečný, no ich obvod (resp. povrch) je nekonečný ^{[chýba zdroj]}. Ide o jedny z najzložitejších geometrických objektov, ktoré súčasná matematika skúma a majú často prekvapivo jednoduchú matematickú štruktúru.

Vlastnosťami fraktálov a ich opisom sa zaoberá vedný obor matematiky nazvaný fraktálna geometria, ktorá sa zaoberá nepravidelnosťou objektu.

Druhy fraktálov

Sú známe tieto druhy fraktálnych útvarov:

1. L-systémy
2. IFS
3. TEA
4. Náhodné fraktály
5. Prírodné fraktály – Veľa prírodných tvarov je možné modelovať fraktálnou geometriou, napríklad hory, mraky, snehové vločky, rieky alebo cievny systém. Preto sa často tvary stromov a papradí v prírode modelujú na počítačoch použitím rekurzívnych algoritmov.

Celý článok...

11/2011

Lineárny funkcionál alebo lineárna forma alebo konvektor je v matematike lineárne zobrazenie z množiny vektorov daného vektorového priestoru do množiny jeho skalárov. Inými slovami, lineárny funkcionál je funkcionál, ktorý je súčasne lineárnym zobrazením.

Definícia

Nech V je vektorový priestor nad poľom F. Zobrazenie $f:V\to F$ sa nazýva lineárny funkcionál vo V, ak platí:

1. $\forall x,y\in V:f(x+y)=f(x)+f(y),$
2. $\forall x\in V\forall \alpha \in F:f(\alpha \cdot x)=\alpha f(x).$

Tieto dve podmienky možno ekvivalentne prepísať do podmienky

$\forall x,y\in V\forall \alpha ,\beta \in F:f(\alpha \cdot x+\beta \cdot y)=\alpha f(x)+\beta f(y).$

Uvedenú definíciu teda možno preformulovať tak, že f je lineárne zobrazenie z V do F.

Celý článok...

12/2011

Euklidov algoritmus je v teórii čísel algoritmus na určenie najväčšieho spoločného deliteľa dvoch prirodzených čísel. Je pomenovaný podľa starogréckeho matematika Euklida, ktorý ho opísal v siedmej a desiatej knihe svojich Základov.

Algoritmus

Euklidov algoritmus využíva nasledujúcu skutočnosť: ak a je najväčším spoločným deliteľom (označovaný aj NSD(u,v) alebo GCD(u,v)) čísel u,v, potom je aj najväčším spoločným deliteľom čísel v,u-qv pre ľubovoľné q. Tvrdenie možno dokázať nasledujúcim spôsobom. Keďže je a najväčší spoločný deliteľ čísel u,v, musí platiť $u=na$ a $v=ma$, kde a je najväčšie takéto číslo. Potom zrejme

$u-qv=na-qma=(n-mq)a,\,$

čo znamená, že a je spoločným deliteľom čísel v,u-qv pre ľubovoľné q. Zostáva dokázať, že žiadny väčší spoločný deliteľ neexistuje. Sporom. Nech b > a je spoločný deliteľ v,u-qv. Potom platí v = kb a u-qv = lb. Z toho ale

$u=u-qv+qv=lb+qkb=(l+qk)b,\,$

čo znamená že b je spoločným deliteľom u,v, a keďže b > a, nemôže byť a najväčším spoločným deliteľom u,v, čo je spor s predpokladom.

Špeciálnym prípadom práve dokázaného tvrdenia je tvrdenie: ak a je najväčším spoločným deliteľom u,v, kde $u\geq v$, potom je aj najväčším spoločným deliteľom čísel v a $u{\text{ mod }}v$.

Celý článok...

13/2011

Joseph Louis Lagrange (* 25. január 1736, Turín – † 10. apríl 1813, Paríž) bol taliansko-francúzsky matematik a astronóm, jeden zo zakladateľov variačného počtu. Nesmierne významný je jeho prínos v rôznych oblastiach matematiky a fyziky – napr. v matematickej analýze, teórii čísel, klasickej mechanike, či nebeskej mechanike.

Bol členom Parížskej akadémie vied. Dosiahol pozoruhodné výsledky v matematike (vo variačnom počte), mechanike a sférickej astronómii. Rozriešil mnohé problémy, ktorými sa zaoberali Euler, Newton a Bernoulliovci.

Život

Začiatky

Lagrange sa narodil v Turíne ako Giuseppe Lodovico Lagrangia. Jeho predkovia boli francúzskeho, ako aj talianskeho pôvodu. Vysokú školu vyštudoval v Turíne.

Do svojich sedemnástich rokov Lagrange neprejavoval o matematiku žiadny zvláštny záujem. Zaoberať sa s ňou údajne začal až potom, čo náhodou natrafil na odborný článok od Edmunda Halleyho. Dezorientovaný a bez jasného cieľa sa vrhol na štúdium matematiky a po roku nepretržitej práce už bol uznávaným matematikom a učiteľom na vojenskej škole.

Celý článok...

14/2011

Rungeho jav je v numerickej matematike názov pre problém, ktorý vzniká pri interpolácii polynómom vyššieho stupňa. Je pomenovaný po Carlovi Davidovi Tolméovi Rungeovi, ktorý ho objavil, keď skúmal chybu polynomiálnej interpolácie istej triedy funkcií, dnes známych ako Rungeho funkcie. Tento jav je podobný Gibbsovmu javu pri Fourierových radoch.

Problém

Uvažujme funkciu:

$f(x)={\frac {1}{1+25x^{2}}}.\,$

Runge objavil, že pokiaľ sa táto funkcia (nazývaná aj Rungeho funkcia) interpoluje na intervale $<-1;1>$ pomocou ekvidištančných uzlov $x_{i}$, teda

$x_{i}=-1+(i-1){\frac {2}{n}},\quad i\in \left\{1,2,\dots ,n+1\right\},$

polynómom P_n(x) stupňa n, výsledná interpolačná krivka v okolí krajov intervalu (teda bodov −1 a 1) silne osciluje (čím narastá chyba interpolácie). Dá sa dokázať, že chyba interpolácie speje s rastúcim stupňom polynómu do nekonečna, teda platí:

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\max _{-1\leq x\leq 1}|f(x)-P_{n}(x)|\right)=+\infty .$

Na druhej strane však Weierstrassova veta o aproximácii hovorí, že existuje postupnosť aproximujúcich polynómov, pre ktoré sa chyba limitne blíži k nule. Z toho vyplýva, že polynómy vysokého stupňa nemusia byť pri použití ekvidištančných uzlov optimálnym riešením.

Celý článok...

15/2011

V matematike, parciálna derivácia funkcie o viacerých premenných je jej derivácia vzhľadom na jednu z týchto premenných, pričom s ostatnými narábame ako s konštantami (v tomto kontexte je teda opakom úplnej derivácie, kde môžu všetky premenné meniť svoje hodnoty). Parciálne derivácie sa využívajú vo vektorovom počte a v diferenciálnej geometrii.

Parciálna derivácia funkcie f vzhľadom na premennú x sa označuje f '_x, ∂_xf, alebo ∂f/∂x. Symbol ∂, označujúci parciálnu deriváciu, je zaobleným písmenom d, ktorým sa zvykne označovať bežná derivácia. Označenie zaviedol Adrien-Marie Legendre, ale všeobecne sa začal uznávať, až po jeho oživení Carlom Gustavom Jacobom Jacobim.

Úvod

Predpokladajme, že f je funkcia o viac ako jednej premennej, napríklad:

$z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,$

Je zložité určiť deriváciu takejto funkcie, keďže v každom bode tejto plochy existuje nekonečne veľa dotyčníc. Nájsť parciálnu deriváciu takejto funkcie vlastne znamená vybrať jednu z takýchto dotyčníc a určiť jej sklon. Zvyčajne nás najviac zaujíma dotyčnica, ktorá leží v rovine rovnobežnej so súradnicovou rovinou (y,z) alebo so súradnicovou rovinou (x,z).

Dobrý spôsob, ako nájsť takéto dotyčnice je považovať ostatné premenné za konštanty. Napríklad, ak vo vyššie uvedenej funkcii hodláme nájsť dotyčnicu ku krivke plochy, ktorá prechádza bodom (1, 1, 3), a ktorá leží v rovine rovnobežnej so súradnicovou rovinou (x,z), považujeme y za konštantu. Graf uvažovanej funkcie leží v rovine (y= 1) a je zobrazený na prvom obrázku. Na obrázku pod ním je rez grafom funkcie pre y= 1. Nájdením bežnej derivácie funkcie o jednej premennej, ktorá je zadaná vyššie uvedeným predpisom, pričom y považujeme za konštantu získame rovnicu požadovanej dotyčnice funkcie f rovnobežnej s osou x:

${\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y$

Teda v bode (1, 1, 3), je hodnota parciálnej derivácie (a teda aj tangens požadovanej dotyčnice) rovná 3 (tento poznatok získame substitúciou). Teda môžeme položiť, že

${\frac {\partial z}{\partial x}}=3$

v bode (1, 1, 3).

Celý článok...

16/2011

Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces (iné názvy: Gramov-Schmidtov proces ortogonalizácie, Gramova-Schmidtova ortogonalizácia) je proces, ktorým z množiny lineárne nezávislých vektorov priestoru vytvárame jeho ortonormálnu bázu. Ortonormálna báza sa vyznačuje vlastnosťou, že jej vektory majú normovanú jednotkovú dĺžku a navzájom sú ortogonálne. Vektorový priestor dimenzie n môže byť všeobecne generovaný ľubovoľnou n-ticou lineárne nezávislých vektorov. Tieto však majú rôznu orientáciu a nejednotnú dĺžku (normu). Na odstránenie respektíve normalizáciu sa využíva práve spomínaný Gram-Schimdtov ortogonalizačný proces.

Postup ortogonalizácie

V prvom kroku Gramovho-Schmidtovho ortogonalizačného procesu sa pokladá za základ prvý vektor z množiny vektorov, ktoré normalizujeme. Podľa tohto vektora sa odvíja orientácia zvyšných. Ďalším krokom je samotná ortogonalizácia vektorov, a nakoniec normalizácia vektorov. Pre zjednodušenie výpočtov sa vektory normalizujú až na koniec procesu. Tento proces možno popísať ako rekurentný proces.

Vlastnosti a vzťahy

Nech ${\mathcal {M}}={\text{span}}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\cdots ,\mathbf {x} _{n})$ je vektorový priestor, ktorý je generovaný lineárne nezávislými vektormi $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\cdots ,\mathbf {x} _{n}$. To, že vektory sú lineárne nezávislé znamená, že existuje len triviálna nulová kombinácia koeficientov $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{n}$, že systém $\mathbf {X} \mathbf {c} =0$ má riešenie. Hľadáme také vektory $\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\cdots ,\mathbf {y} _{n}$ s vlastnosťou

$(\mathbf {q} _{i},\mathbf {q} _{j})=\left\{{\begin{array}{ll}1\,;&i=j\\0\,;&i\neq j\end{array}}\right.$

Odtiaľ vyplýva, že vektory musia byť ortogonálne a musia mať jednotkovú dĺžku. Tieto už budú priamo tvoriť bázu konkrétneho vektorového priestoru.

Celý článok...

17/2011

Komplexná analýza alebo teória funkcií komplexnej premennej alebo teória funkcií je oblasť matematiky (presnejšie matematickej analýzy), ktorá študuje funkcie definované v obore komplexných čísel. Komplexná analýza má praktické použitie vo viacerých oblastiach matematiky, napríklad v teórii čísel a aplikovanej matematike, ale aj vo fyzike.

Zvláštnym predmetom záujmu komplexnej analýzy sú analytické funkcie komplexnej premennej (alebo, všeobecnejšie, meromorfné funkcie). Keďže reálna aj imaginárna zložka ľubovoľnej analytickej funkcie vyhovuje Laplaceovej rovnici, je komplexná analýza aplikovateľná na dvojrozmerné problémy vo fyzike.

Dejiny

Komplexná analýza je jedným z klasických odvetví matematiky s koreňmi v 19. storočí a neskoršom 18. storočí. Pri jej vzniku a formovaní zohrávali rozhodujúcu úlohu mená ako Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, Bernhard Riemann, Augustin Louis Cauchy, či Karl Weierstrass. Komplexná analýza, a najmä teória konformných zobrazení bola vždy známa množstvom praktických aplikácií vo fyzike, ale aj analytickej teórii čísel. V súčasnosti sa komplexná analýza stala značne populárnou najmä vďaka vzniku komplexnej dynamiky a počítačových vizualizácií komplexných fraktálov, ktoré vzniknú iteráciou holomorfných funkcií. Najznámejším príkladom komplexného fraktálu je Mandelbrotova množina. Medzi moderné aplikácie komplexnej analýzy patrí jej použitie v teórii strún.

Celý článok...

18/2011

Banachova veta o pevnom bode, pomenovaná podľa Stefana Banacha a známa aj ako veta o kontrakcii je veta matematickej analýzy, ktorá hovorí, že pre každé kontraktívne zobrazenie v úplnom metrickom priestore existuje práve jeden pevný bod.

Definície

Pevný bod

Nech $f:X\to X$ je zobrazenie. Bod $x\in X$ nazveme pevným bodom zobrazenia f, ak $f(x)=x\,$.

Kontraktívne zobrazenie

Nech $(X,d)\,$ je metrický priestor, nech $A\subseteq X\,$. Nech $f:A\to A$ je zobrazenie. Zobrazenie f nazývame kontraktívne zobrazenie alebo kontrakcia, ak existuje reálna konštanta L, $0<L<1$ taká, že pre všetky $x_{1},x_{2}\in A$ platí

$d(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq L\cdot d(x_{1},x_{2}).$

Inými slovami, zobrazenie f je kontraktívne vtedy a len vtedy, keď spĺňa Lipschitzovu podmienku pre $0<L<1$.

Znenie vety

Nech $(X,d)\,$ je úplný metrický priestor. Nech $f:X\to X$ je kontraktívne zobrazenie. Potom f má práve jeden pevný bod $u=f(u)$. Navyše, pre každé $x\in X$ platí $f^{n}(x)\to u$ pre $n\to \infty$ (symbol $f^{n}\,$ označuje n-tú iteráciu zobrazenia f), pričom pre rýchlosť konvergencie platí $d(u,f^{n}(x))\leq L^{n}\cdot d(u,x)$.

Celý článok...

19/2011

Banachov priestor, pomenovaný podľa Stefana Banacha, je v matematike normovaný lineárny priestor, ktorý je navyše úplný. Banachove priestory sú jedným z centrálnych objektov záujmu funkcionálnej analýzy.

Definícia

Banachov priestor je úplný normovaný lineárny priestor. To znamená, že Banachov priestor je lineárny priestor $V$ nad telesom reálnych alebo komplexných čísel s normou $\|.\|$, v ktorom má každá cauchyovská postupnosť v indukovanej metrike $d(x,y)=\|x-y\|$ limitu.

Príklady

• Priestory $\mathbb {R} ^{n}$ a $\mathbb {C} ^{n}$ (všetky n-tice reálnych, resp. komplexných čísel) sú Banachove priestory v ľubovoľnej norme. Pokiaľ na priestoroch $\mathbb {R} ^{n}$ a $\mathbb {C} ^{n}$ definujeme euklidovskú normu

$\|x\|:={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2}}},$

kde $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$, budú tieto priestory dokonca priestormi Hilbertovými.

• Priestor všetkých spojitých funkcií $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ s normou

$\|f\|_{\infty }:=\max _{t\in [a,b]}|f(t)|$

je Banachov.

Celý článok...

20/2011

Wronského determinant alebo Wronskián je matematická funkcia definovaná pomocou determinantu, pomenovaná podľa poľského matematika Józefa Hoene-Wrońského. Používa sa najmä v teórii obyčajných diferenciálnych rovníc, na vyšetrenie lineárnej nezávislosti množiny funkcií.

Definícia

Majme n reálnych, prípadne komplexných funkcií f₁,..., f_n, ktoré sú na intervale I n − 1-krát diferencovateľné. Potom je Wronského determinant W(f₁,..., f_n) definovaný ako funkcia na I nasledovne:

${\begin{array}{l}W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x)=\\\\={\begin{vmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}},\qquad x\in I.\end{array}}$

Inými slovami, je to determinant matice skonštruovanej tak, že prvý riadok tvoria funkcie f₁,..., f_n, druhý riadok ich prvé derivácie, atď. a posledný riadok tvoria n - 1 – te derivácie týchto funkcií. Takáto štvorcová matica sa niekedy nazýva aj fundamentálna matica.

Celý článok...

21/2011

Šach (z perzštiny شاه – šáh, kráľ; prenesene: kráľovská hra) je deterministická (náhoda nehrá žiadnu úlohu) strategická hra s úplnou informáciou (žiadny prvok hry nie je utajený) pre dvoch hráčov, ktorej o výsledku rozhodujú taktické, strategické a plánovacie schopnosti hráčov a tiež ich pozornosť a vnímavosť. Cieľom hry je dať súperovi mat. Má v sebe prvky umenia, vedy a športu. Hrajú ju dvaja hráči podľa šachových pravidiel. Šach rozvíja logické myslenie a cvičí pamäť. V dnešnej verzii šachových kameňov možno badať alegóriu stredovekej spoločnosti.

Dejiny šachu

• okolo roku 500 – prvá podoba šachu v severnej Indii, známa pod menom čaturanga
• 847 – prvá šachova kniha
• okolo 11. storočia – šach sa objavuje v Európe
• 1497 – prvá európska šachová kniha od Louia de Lucena
• 1851 – prvý medzinárodný šachový turnaj v Londýne
• 1867 – prvé použitie šachových hodín na medzinárodnom šachovom turnaji v Paríži
• 1997 – prvá výhra počítača Deep Blue nad majstrom sveta

Bodovanie figúr

• kráľ – 0 bodov
• dáma – 9 bodov
• veža – 5 bodov
• strelec – 3 body
• jazdec – 3 body
• pešiak – 1 bod

Celý článok...

22/2011

Determinant je multilineárne zobrazenie, ktoré každej reálnej (resp. komplexnej) štvorcovej matici priraďuje jedno reálne (resp. komplexné) číslo.

Značenie

Determinant matice $\mathbf {A}$ značíme v skrátenej forme, ktorá nešpecifikuje jej jednotlivé prvky $\mathbf {a} _{ij}$ týmto spôsobom:

$\det \mathbf {A}$

V prípade explicitného vyjadrenia jednotlivých prvkov $\mathbf {a} _{ij}$ matice $\mathbf {A}$ používame nasledujúce značenie:

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}$,

Ďalším zaužívaným spôsobom je nasledujúce označenie:

${\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix}}$.

Definícia determinantu

Všeobecná definícia

Pre ľubovoľnú reálnu alebo komplexnú maticu $\mathbf {A} =({a_{i}}_{j})\,$ rozmeru $\mathbf {n}$×$\mathbf {n}$ definujeme determinant nasledujúcim predpisom (nazývaným tiež Leibnizova formula):

$\det \mathbf {A} =\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}{a}_{i,\sigma (i)}$

Celý článok...

23/2011

Trojuholník je jeden zo základných rovinných geometrických útvarov; mnohouholník s troma vrcholmi a stranami. Je to dvojrozmerný útvar.

Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180°.

Definícia trojuholníka

Trojuholník môžeme definovať ako prienik troch polrovín.
Ak máme tri rôzne body A, B, C, (ktoré neležia na jednej priamke) tak trojuholníkom s vrcholmi A, B, C nazývame prienik polrovín ABC, ACB, BCA.
Úsečky AB, BC, CA sú stranami tohto trojuholníka a ich zjednotenie je obvod trojuholníka.

Pre strany trojuholníka musí platiť trojuholníková nerovnosť, t. j., že súčet dĺžok dvoch ľubovoľných strán je väčší ako dĺžka tretej strany, teda:

• $a+b>c$
• $b+c>a$
• $a+c>b$

Klasifikácia trojuholníkov

Trojuholníky môžno triediť podľa viacerých kritérií:
1. Podľa dĺžky jeho strán

• Rovnostranný trojuholník – všetky strany majú rovnakú dĺžku. Rovnostranný trojuholník je tiež rovnouhlý, t. j. všetky jeho vnútorné uhly majú rovnakú veľkosť, a to 60°; je to pravidelný mnohoulník.
• Rovnoramenný trojuholník – má práve dve strany rovnakej dĺžky. Rovnoramenný trojuholník má tiež dva rovnaké vnútorné uhly (sú to uhly, v ktorých obe rovnaké strany sa napájajú na tretiu). ::Rovnostranný trojuholník je tiež rovnoramenným, ale nie každý rovnoramenný trojuholník je rovnostranný.
• Rôznostranný trojuholník – všetky strany majú rozličnú dĺžku. Jeho vnútorné uhly sú taktiež rozdielne.

Rovnostranný	Rovnoramenný	Rôznostranný

Celý článok...

24/2011

Riemannova guľa alebo Riemannova sféra, pomenovaná podľa Bernharda Riemanna, je matematický koncept umožňujúci rozšíriť Gaussovu rovinu komplexných čísel o bod reprezentujúci nekonečno takým spôsobom, že možno zmysluplne pracovať s výrazmi typu

$1/0=\infty$.

Riemannova guľa sa niekedy označuje aj:

• Komplexná projektívna priamka, označovaná $\mathbb {CP} ^{1}$ alebo
• Rozšírená komplexná rovina, prípadne rozšírená Gaussova rovina, označovaná $\mathbb {\hat {C}}$ alebo $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$.

Z čisto algebraického pohľadu, komplexné čísla s nevlastným bodom v nekonečne tvoria systém, ktorý býva označovaný ako rozšírené komplexné čísla. Ale aritmetika s nekonečnom sa neriadi zvyčajnými pravidlami, a preto takáto štruktúra netvorí pole. Výpočty na Riemannovej guli sa však z geometrického aj analytického pohľadu správajú rozumne aj v nekonečne.

Riemannova guľa je jednorozmerná komplexná varieta, nazývaná aj Riemannova plocha.

V komplexnej analýze sa Riemannova guľa používa najmä v teórii meromorfných funkcií. Veľmi často sa využíva v projektívnej a algebraickej geometrii, keďže je jedným zo základných príkladov komplexnej variety, projektívneho priestoru, ako aj algebraickej variety. Koncept Riemannovej gule tiež nachádza uplatnenie v nematematických odvetviach, ktoré využívajú matematickú analýzu a geometriu – predovšetkým v kvantovej mechanike a iných oblastiach fyziky.

Celý článok...

25/2011

Čínska zvyšková veta alebo čínska veta o zvyškoch je veta v teórii čísel objavená čínskym matematikom Sun-c' hovoriaca o riešeniach systémov lineárnych kongruencií. Medzi hlavné aplikácie vety patrí dôkaz bezpečnosti šifrovacieho algoritmu RSA.

Znenie vety

Nech $m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}$ sú po dvoch nesúdeliteľné prirodzené čísla väčšie ako 1. Nech $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ sú ľubovoľné celé čísla. Potom existuje riešenie x sústavy kongruencií

$\left.{\begin{array}{ccl}x&\equiv &a_{1}\ ({\text{mod }}m_{1})\\x&\equiv &a_{2}\ ({\text{mod }}m_{2})\\\vdots &\vdots &\vdots \\x&\equiv &a_{n}\ ({\text{mod }}m_{n})\end{array}}\right\},$

pričom všetky takéto riešenia x sú navzájom kongruentné modulo $M:=m_{1}m_{2}\ldots m_{n}$.

Celý článok...

26/2011

V matematike je projektívny priestor množina prvkov podobná množine P(V) priamok prechádzajúcich počiatkom vo vektorovom priestore V. V špeciálnom prípade, ak V=R² resp. V=R³, hovoríme o projektívnej priamke resp. projektívnej rovine.

Predstava o projektívnom priestore je podobná predstave o tom, ako oko alebo kamera zobrazuje 3D krajinu na 2D obrázok. Všetky body, ktoré ležia na priemietacej priamke a pretínajú sa s ohniskovým bodom kamery sú zobrazené na spoločný bod obrázku.

Hoci tvoria projektívne priestory samostatnú časť matematiky, využívajú sa v mnohých ďalších aplikovaných obliastiach, najmä v diferenciálnej a algebraickej geometrii. Geometrické objekty, akými sú body, priamky a roviny, môžu byť pomocou homogénnych súradníc reprezentované prvkami v projektívnych priestoroch. Mnohé vzťahy medzi týmito objektmi tak môžu byť opísané jednoduchšou cestou a vety podané jednoduchšie (a bez výnimiek), než by tomu bolo bez homogénnych súradníc. Napríklad v klasickej geometrii sa dve priamky v konečnodimenzionálnom unitárnom priestore s definovaným štandardným skalárnym súčinom (t. j. v Euklidovskom priestore) vždy pretnú práve v jednom bode, s výnimkou, keď majú tieto priamky rovnaké zameranie (pre špeciálny prípad v rovine: ak sú tieto priamky rovnobežné, t. j. ak majú rovnakú smernicu). V projektívnej reprezentácii priamok a bodov takýto bod, v ktorom sa priamky pretínajú, existuje vždy a môže byť vypočítaný bežným postupom aj pre priamky s rovnakým zameraním.

Ďalšími odvetviami matematiky, v ktorých hrajú projektívne priestory významnú úlohu, sú topológia, teória Lieových grúp a algebraických grúp.

Úvod

Pre lepšiu názornosť vytvoríme reálnu projektívnu rovinu P₂(R³). Existujú najmenej tri ekvivalentné definície pre túto rovinu:

1. Množina všetkých priamok v (reálnom 3D) priestore R³ prechádzajúcich cez počiatok (0,0,0). Každá taká priamka pretína sféru s polomerom jedna a stredom v počiatku práve dvakrát, povedzme v bode P = (x, y, z) a v protichodnom bode (-x, -y, -z).
2. P₂(R³) môže byť tiež opísaný pomocou bodov na sfére S², kde každý bod P a jeho protichodný bod nie sú rozdielne. Napríklad bod (1, 0, 0) (červéný bod na obrázku) je stotožnený s (-1, 0, 0) (svetlo červený bod), atď.

Celý článok...

27/2011

Mnohouholník alebo polygón alebo n-uholník je časť roviny vymedzená úsečkami, ktoré spájajú určitý počet bodov (najmenej tri), z ktorých žiadne tri susedné neležia na jednej priamke. Inak povedané: Mnohouholník je obmedzená časť roviny ohraničená uzatvorenou lomenou čiarou.

Všeobecne

Body, ktoré určujú mnohouholník, sa nazývajú vrcholy mnohouholníka. Úsečky, ktoré spájajú susedné vrcholy, sa nazývajú strany mnohouholníka. Úsečky, ktoré spájajú nesusedné vrcholy, sa nazývajú uhlopriečky. Uhly, ktoré zvierajú susedné strany, sa nazývajú vnútorné uhly mnohouholníka. Počet vrcholov, strán a vnútorných uhlov v jednom mnohouholníku je rovnaký a tento počet určuje názov mnohouholníka: trojuholník, štvoruholník, päťuholník atď.

Znázornenie

Mnohouholník sa znázorňuje pomocou jeho vrcholov a strán, označuje sa vymenovaním vrcholov v ich presnom poradí. Pri špeciálnych mnohouholníkoch (trojuholník, štvorec, obdĺžnik a pod.) sa v zápise pred vymenovaním vrcholov umiestňuje príslušný symbol (Δ a pod.). Vrcholy, strany a uhly mnohouholníka sa zapisujú rovnakým spôsobom ako body, úsečky a uhly.

Celý článok...

28/2011

Graf alebo neorientovaný graf je abstraktný matematický objekt daný množinou vrcholov V (starší názov:uzly) a množinou hrán E medzi dvojicami vrcholov. Grafy študuje matematická disciplína teória grafov a sú obvykle abstrakciou reálnych problémov či štruktúr. Typickým príkladom je modelovanie cestnej siete ako grafu, kde vrcholy sú mestá a hrany zastupujú cesty.

Poznámka: V slovenskej literatúre sa množina hrán zvykne označovať aj symbolom H. Vo svetovej literatúre sa obvykle označuje E z anglického edge.

Definície

Neorientovaný graf

Graf alebo neorientovaný graf G je usporiadaná dvojica G = (V, E), kde:

• V je neprázdna konečná množina vrcholov grafu,
• E je množina neusporiadaných dvojíc typu {u, v}, kde u ≠ v, nazývaných hrany grafu.

Príklad neorientovaného grafu:

V = {1, 2, 3, 4}
E = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {3, 4}}

Orientovaný graf

Orientovaný graf alebo digraf G je usporiadaná dvojica G = (V, E), kde:

• V je neprázdna konečná množina vrcholov grafu,
• E je množina usporiadaných dvojíc typu (u, v), kde u ≠ v, nazývaných orientované hrany grafu.

Príklad digrafu:

V = {1, 2, 3, 4}
E = {(1, 2), (1, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3)}

Každý neorientovaný graf možno previesť na orientovaný graf, s tým istým počtom vrcholov a dvojnásobným počtom hrán.

Celý článok...

29/2011

Vandermondova konvolúcia alebo Vandermondova identita je kombinatorická identita pomenovaná po francúzskom matematikovi Alexandre-Théophile Vandermonde, ktorý s ňou prišiel v roku 1772. Znenie identity je

${m+n \choose r}=\sum _{k=0}^{r}{m \choose k}{n \choose r-k},\qquad m,n,r\in \mathbb {N} _{0},$

kde ${n \choose k}$ je binomický koeficient. Napriek tomu, že je konvolúcia pomenovaná po Vandermondovi, v skutočnosti pochádza už z roku 1303, kedy ju objavil čínsky matematik Ši-ťie Ču.

Algebraický dôkaz

Vo všeobecnosti platí nasledujúci vzťah pre súčin dvoch polynómov stupňov m a r:

${\biggl (}\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}b_{j}x^{j}{\biggr )}=\sum _{r=0}^{m+n}{\biggl (}\sum _{k=0}^{r}a_{k}b_{r-k}{\biggr )}x^{r},$

pričom používame konvencu, že a_i = 0 pre i > m a b_j = 0 pre všetky j > n. Z binomickej vety,

$(1+x)^{m+n}=\sum _{r=0}^{m+n}{m+n \choose r}x^{r}.$

Celý článok...

30/2011

Matica je určitá množina čísel alebo iných matematických objektov (tzv. prvkov matice) usporiadaných do pravidelných riadkov a stĺpcov (prípadne aj ich viacrozmerných ekvivalentov) a vyznačujúcich sa tým, že každý výpočtový úkon vykonávaný s maticou sa týka každého prvku tvoriaceho maticu.

Najčastejšie sa možno stretnúť s dvojrozmernou maticou. Ak treba zdôrazniť, že má $m$ riadkov a $n$ stĺpcov, hovorí sa o matici typu $m$ krát $n$. Ak treba zdôrazniť, že objekty v tejto tabuľke pochádzajú z množiny $A$ hovorí sa o matici nad množinou $A$. Príkladom matice typu 2-krát 5 nad množinou celých čísel môže byť

${\begin{pmatrix}3&0&-6&4&11\\6&-1&4&1&13\\\end{pmatrix}}.$

Prvky matice A zvyčajne označujeme ako $a_{ij}$, pričom i je číslo riadku a j stĺpca.

Matice sú obzvlášť dôležité v lineárnej algebre kde reprezentujú lineárne zobrazenia a slúžia k efektívnemu zápisu lineárnych rovníc. Pomocou matíc nad množinou $\{0,1\}$ sa reprezentujú konečné binárne relácie.

Operácie s maticami

Ak prvky dvoch matíc pochádzajú z vhodnej algebraickej štruktúry a ak sú splnené obmedzujúce podmienky týkajúce sa typu matíc, možno s maticami vykonávať rôzne operácie. Pre operáciu s maticami však neplatia všetky pravidlá platné pri počítaní s číslami, preto sa treba riadiť definíciami, ktoré maticové operácie určujú. Napríklad nie je jedno, v akom poradí sa násobia matice.

Sčítavanie matíc

Sčítavanie matíc môže prebiehať len vtedy, ak tieto dve matice majú rovnaký rozmer. Sčítavajú sa čísla na rovnakých pozíciách. Napríklad:

${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}$

Skalárne násobenie

Každý prvok v matici A sa vynásobí číslom c. Napríklad:

$2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$

Sčítanie a skalárne násobenie nemenia rozmer matíc.

Celý článok...

31/2011

V matematike a fyzike, špeciálne tam, kde sa uplatňuje lineárna algebra, Einsteinova (sumačná) konvencia alebo Einsteinova notácia je spôsob zapisovania rovníc výhodný pri práci so zložkami tenzorov, v rámci nich špeciálne aj vektorov a kovektorov. Túto konvenciu zaviedol A. Einstein r. 1916.

Podľa tejto notácie, keď sa rovnaký index objaví v súčine dvakrát (raz ako horný a raz ako dolný), znamená to automatickú sumáciu cez všetky možné hodnoty tohoto indexu. V typických aplikáciách môže index nadobúdať hodnoty 1, 2, 3 v euklidovskom priestore alebo 0, 1, 2, 3 v Minkowského priestore. Počet hodnôt, ktoré index môže nadobúdať je rovný dimenzii priestoru, v ktorom pracujeme. V troch rozmeroch napríklad

$y=c_{i}x^{i}\$

automaticky znamená

$y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}.$

Dôvodom na používanie tejto konvencie je sprehľadnenie zložitých rovníc, kde treba sumovať cez viacero rôznych indexov.

Spúšťanie a dvíhanie indexov

Ak máme priestor s metrickým tenzorom $g_{ij}$, zavádza sa jeho inverzná matica vzťahom

$g^{ac}g_{cb}:=\delta _{b}^{a},$

kde $\delta _{b}^{a}$ je Kroneckerov symbol (rovný 1, ak $a=b$ a rovný 0, ak $a\neq b$). Potom možno zaviesť operáciu dvíhania a spúšťania indexov nasledovne:

$\sharp _{g}\,:\quad \alpha _{a}\mapsto \alpha ^{a}:=g^{ab}\alpha _{b}$

$\flat _{b}\,:\quad v^{a}\mapsto v_{a}:=g_{ab}v^{b}$

Veličinám $v_{a},v^{a}$ sa niekedy zvykne hovoriť kovariantné a kontravariantné zložky (toho istého) vektora $v$. V striktnej terminológii sú však prvé z nich zložkami kovektorov.

Vzhľadom na to, že v euklidovskom priestore $g_{ab}=\delta _{ab}$, čísla $v_{a}$ a $v^{a}$ sú rovnaké, pre každé $v$. Preto sa pri práci v ňom často ignoruje poloha indexov hore-dolu.

Celý článok...

32/2011

Derivácia v smere, presnejšie derivácia diferencovateľnej funkcie viacerých reálnych premenných v smere daného vektora „V“ v danom bode „P“, je koncept, ktorý formalizuje intuitívnu predstavu "sklonu" rezu danej funkcie rovinou určenou (jednotkovým) vektorom „V“ a osou závislej premennej v bode „P“. Derivácia v smere teda určuje mieru rastu funkcie, ak všetky závislé premenné meníme v smere vektora „V“. Je teda zovšeobecnením konceptu parciálnej derivácie, pri ktorej je tento smer vždy rovnobežný s niektorou zo súradnicových osí – parciálna derivácia je teda špeciálnym prípadom derivácie v smere. Derivácia v smere je zas špeciálnym prípadom tzv. Gâteauxovej derivácie.

Definícia

Derivácia funkcie

$f({\vec {x}})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

v smere vektora

${\vec {v}}=(v_{1},\ldots ,v_{n})$

je funkcia definovaná ako limita

${\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}}}({\vec {x}})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f({\vec {x}}+h{\vec {v}})-f({\vec {x}})}{h}}.$

Niekedy sa derivácia v smere označuje aj ako $D_{\vec {v}}({\vec {x}})$ alebo $\nabla _{\vec {v}}({\vec {x}})$. Ak je funkcia $f$ diferencovateľná v bode ${\vec {x}}$, tak existuje derivácia v smere ľubovoľného vektora ${\vec {v}},$ pričom platí

${\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}}}({\vec {x}})=\nabla f({\vec {x}})\cdot {\vec {v}}$,

kde $\nabla$ označuje gradient a $\cdot$ je skalárny súčin.

Celý článok...

33/2011

Leonhard Paul Euler (čítaj Ojler) (* 15. apríl 1707, Bazilej, Švajčiarsko – † 18. september 1783, Petrohrad, Rusko) bol švajčiarsky matematik a fyzik, ktorý prežil väčšinu svojho života v Rusku a Nemecku.

Urobil dôležité zistenia v oblastiach tak rozmanitých, ako je diferenciálny a integrálny počet a teória grafov. Zaviedol aj veľkú časť matematickej terminológie a označenia, obzvlášť v matematickej analýze, ako napríklad zápis matematickej funkcie. Preslávila ho aj práca v oblasti mechaniky, optiky a astronómie.

Považuje sa za popredného matematika 18. storočia a jedného z najväčších matematikov všetkých čias. Bol aj jedným z najproduktívnejších; jeho súborné dielo tvorí 60 – 80 zväzkov. Vyhlásenie pripisované Pierreovi-Simonovi Laplaceovi vyjadruje Eulerov vplyv na matematiku: „Čítajte Eulera, čítajte Eulera, on je majster (učiteľ) nás všetkých.“

Figuroval na šiestich sériách Švajčiarskej 10-frankovej bankovky a na mnohých švajčiarskych, nemeckých a ruských poštových známkach. Asteroid 2002 Euler bol pomenovaný na jeho počesť. Podľa Kalendára svätých Evanjelickej cirkvi si Eulera pripomínajú 24. mája – bol zástancom biblickej neomylnosti, písal apologetiky a argumentoval proti prominentným ateistom svojich čias.

Život

Mladosť

Euler sa narodil v Bazileji. Jeho otec, Paul Euler, bol pastorom reformovanej cirkvi a matka, Marguerite Bruckerová, bola dcérou pastora. Leonhard mal dve mladšie sestry pomenované Anna Maria a Maria Magdalena. Zanedlho po narodení Leonharda sa celá jeho rodina presťahovala z Bazileja do mesta Riehen, kde Euler strávil väčšinu svojho detstva. Paul Euler bol priateľom Bernoulliho rodiny – Johann Bernoulli, ktorý bol považovaný za popredného európskeho matematika, mal asi najvýznamnejší vplyv na mladého Leonharda. Prvé oficiálne vzdelávanie začal Euler v Bazileji, kde bol poslaný bývať k svojej starej mame z matkinej strany. V trinástich rokoch bol prijatý na Univerzitu v Bazileji a v roku 1723 získal titul Master of Philosophy (dnes Mgr.) s diplomovou prácou, ktorá porovnávala filozofiu Descarta a Newtona. V tom čase dostával Euler sobotné lekcie od Johanna Bernoulliho, ktorý rýchlo objavil u svojho nového žiaka neuveriteľné nadanie na matematiku. Euler v tom čase študoval teológiu, gréčtinu a hebrejčinu na naliehanie svojho otca, ktorý chcel, aby sa Euler stal pastorom, Bernoulli však presvedčil Paula Eulera, že Leonhardovi je predurčené stať sa veľkým matematikom. V roku 1726 Euler ukončil svoju PhD. dizertáciu o šírení zvuku s názvom De Sono a v roku 1727 sa zapojil do súťaže Prize Problem Parížskej akadémie, kde problémom toho roku bolo nájsť najlepší spôsob, ako umiestniť sťažne na lodi. Vyhral druhú cenu, porazil ho len Pierre Bouguer, ktorý je teraz známy ako „otec lodnej architektúry“. Euler následne vyhral túto významnú cenu dvanásťkrát počas svojej kariéry.

Celý článok...

34/2011

Goniometrická funkcia v matematike je termín používaný pre jednu zo šiestich funkcií veľkosti uhla používaných pri skúmaní trojuholníkov a periodických javov. Goniometrické funkcie sú základom goniometrie. Obvykle sa definujú ako pomer dvoch strán pravouhlého trojuholníka alebo dĺžky určitých častí úsečiek v jednotkovej kružnici. Jej modernejšia definícia je založená na nekonečných radoch alebo riešeniach určitých diferenciálnych rovníc, vďaka čomu ich je možné aplikovať tiež na komplexné čísla. Inverzné funkcie ku goniometrickým funkciám sa označujú ako cyklometrické funkcie.

Goniometrické funkcie poznáme:

• sínus (sin)
• kosínus (cos)
• tangens (tg = sin/cos), (niekedy tiež tan)
• kotangens (cotg = cos/sin), (niekedy tiež cot, ctg alebo cotan
• sekans (sec = 1/cos)
• kosekans (cosec = 1/sin)

Historicky sa používali ešte nasledujúce dve funkcie:

• versin = 1 − cos
• exsec = sec − 1

Najdôležitejšími funkciami sú sínus, kosínus a tangens.

Definícia

Pravouhlý trojuholník

Pri definícii pomocou pravouhlého trojuholníka sú jednotlivé prvky trojuholníka ABC nasledujúce:

• pravý uhol $\gamma$ je pri vrchole C
• určovaným uhlom je uhol $\alpha$, vzhľadom k nemu je
  • strana a označovaná protiľahlá odvesna
  • strana b označovaná priľahlá odvesna
  • najdlhšia strana c je nazývaná prepona trojuholníka

Predpokladá sa, že trojuholník leží v euklidovskom priestore a súčet jeho vnútorných uhlov je tak $\pi$ radiánov resp. 180 °. Potom:

• Sínus $\alpha$ je pomer dĺžky odvesny protiľahlej tomuto uhlu a dĺžky prepony.

$\sin \alpha ={\frac {a}{c}}$

• Kosínus $\alpha$ je pomer dĺžky odvesny priľahlej k tomuto uhlu a dĺžky prepony.

$\cos \alpha ={\frac {b}{c}}$

Celý článok...

35/2011

Laplaceov operátor (alebo len Laplace) je diferenciálny operátor vo vektorovej analýze, definovaný ako divergencia gradientu daného skalárneho, alebo vo všeobecnosti tenzorového poľa. Ak je aplikovaný na skalárne pole, výsledkom je opäť skalárne pole, ak je aplikovaný na tenzorové pole, výsledkom je tenzorové pole rovnakého stupňa. Označuje sa symbolom $\Delta$.

Laplace je invariantný voči zámene súradníc – to znamená, že (ak je aplikovaný na vektorové pole či tenzorové pole), výsledok je opäť vektorové pole či tenzorové pole.

Matematický opis

Definícia Laplaceovho operátora zapísaná pomocou operátora nabla, resp. pomocou operátorov divergencie a gradientu, má tvar

$\Delta =\nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla =\mathrm {div} \,\mathrm {grad}$.

Hoci je táto definícia nezávislá na sústave súradníc, väčšinou sa zapisuje špeciálne v karteziánskych súradniciach ako

$\Delta =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}$

v n-rozmernom priestore alebo špeciálne

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.$

v trojrozmernom priestore.

Dôležitým špeciálnym prípadom Laplaceovho operátoru je jeho vyjadrenie v Minkowského štvorrozmernom priestore, ktoré sa často používa v teórii relativity pri popise dejov v časopriestore. Toto vyjadrenie sa nazýva d’Alembertov operátor, označuje sa symbolom $\square$ a má hodnotu

$\square ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}.$

Celý článok...

36/2011

Taylorov rad funkcie f premennej x v bode a je potenčný rad (mocninový rad) so stredom a tvaru

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

pričom

• n=0, 1, 2....
• n sa blíži k nekonečnu
• f⁽ⁿ⁾(a) je n-tá derivácia funkcie f v bode a
• f má v okolí bodu a derivácie všetkých rádov

Taylorov rozvoj (funkcie f premennej x v bode a) je Taylorov rad, pre ktorý platí, že jeho súčet (teda výsledná hodnota) v okolí bodu a sa rovná f(x). Maclaurinov rad je Taylorov rad so stredom v a=0.

Účel

Mnoho značne zložitých funkcií je ťažké predstaviť si, zobraziť ich, prípadne odhadnúť ich funkčné hodnoty. Taktiež elementárne funkcie ako napríklad sínus, cosínus, nadobúdajú najmä iracionálne hodnoty, ktoré nemožno presne vyčísliť, niekedy ani odhadnúť. Formálne definovať tieto základné goniometrické funkcie a mnohé iné umožňuje práve Taylorov rad. Napríklad pre funkciu sínus platí odhad v okolí nuly

$\sin x\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}$

Táto aproximácia je veľmi silná. Pri výpočte hodnôt funkcie sínus v okolí nuly, možno počítať s veľmi malou chybou. Na prelome 17. a 18. storočia sa viacerí matematici pokúšali nahradiť funkciu nejakou jednoduchšou. Za najjednoduchšie sa všeobecne považujú polynomické funkcie, respektíve polynómy. Vybudovanie teórie, ktorá umožňovala aproximáciu funkcií práve polynómami, však vyžadovala poznatky z vyššej matematiky, hlavne diferenciálneho počtu. Teóriu nezávisle od seba budovali Brook Taylor a Colin Maclaurin. Táto teória umožňuje zapísať, za určitých predpokladov, funkciu ako súčet nekonečného mocninového radu, ktorý sa nazýva Taylorov rad.

Celý článok...

37/2011

Topologický priestor je matematická štruktúra, ktorá umožňuje formalizovať a zovšeobecniť koncepty ako konvergencia, spojitosť, či kompaktnosť. Tieto sú definované na základe vzťahov medzi množinami, na rozdiel od metrických priestorov, kde sa definujú pomocou vzdialenosti. Topologické priestory sa ako formalizácia vyskytujú takmer vo všetkých oblastiach matematiky. Sú predmetom štúdia topológie.

Klasická definícia

Topologický priestor je usporiadaná dvojica $(X,\tau )$, kde X je množina a $\tau$, ktorej prvky sa nazývajú aj otvorené množiny, je množina podmnožín X, pre ktorú sú splnené nasledujúce tri podmienky:

1. Prázdna množina a množina X sú otvorené, teda

   $\emptyset \in \tau \qquad X\in \tau .$

2. Zjednotenie ľubovoľného počtu otvorených množín je otvorená množina, teda pre každé $S\subseteq \tau$:

   $\bigcup _{Y\in S}Y\in \tau .$

3. Prienik každých dvoch otvorených množín je otvorená množina, teda

   $A\in \tau \ \land \ B\in \tau \Rightarrow A\cap B\in \tau .$

Tretia podmienka je ekvivalentná s podmienkou, ktorá hovorí, že prienik ľubovoľného konečného počtu otvorených množín je otvorená množina.

Množina $\tau$ sa nazýva aj topológia na množine X, toto pomenovanie má však odlišný význam ako názov topológia v zmysle vedy o topologických priestoroch. Prvky množiny X sa zvyčajne nazývajú body, podmnožiny X patriace do $\tau$ sa nazývajú otvorené množiny, každý komplement otvorenej množiny sa nazýva uzavretá množina.

Je dôležité si uvedomiť, že množina uzavretých množín v X nie je to isté ako $\tau ^{C}$. Množina totiž môže byť otvorená aj uzavretá súčasne. Takýmito množinami sú napríklad $\emptyset$ alebo X, keďže sú komplementárne (pracuje sa s univerzom X) a zároveň otvorené (z definície topologického priestoru).

Celý článok...

38/2011

Lagrangeov polynóm, pomenovaný podľa Josepha Louisa Lagrangea, je v numerickej matematike interpolujúci polynóm pre danú množinu bodov v Lagrangeovom tvare. V roku 1779 ho objavil Edward Waring a v roku 1783 ho znovuobjavil Leonhard Euler.

Je povšimnutia hodné, že pre danú množinu bodov existuje len jeden polynóm (najmenšieho možného stupňa), ktorý interpoluje dané body. Preto je správnejšie o Lagrangeovom polynóme hovoriť ako o Lagrangeovom tvare interpolujúceho polynómu, než o Lagrangeovom interpolujúcom polynóme.

Definícia

Nech je daná množina k + 1 bodov

$(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})$

kde žiadne dve hodnoty $x_{j}$ nie sú rovnaké. Potom interpolujúci polynóm v Lagrangeovom tvare pre túto množinu bodov je lineárna kombinácia

$L(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x)$

Lagrangeových bázických polynómov

$\ell _{j}(x):=\prod _{f=0,\,f\neq j}^{k}{\frac {x-x_{f}}{x_{j}-x_{f}}}.$

Je povšimnutia hodné, že za predpokladu, že žiadne dve hodnoty $x_{i}$ nie sú rovnaké (a to ani nemôžu byť, keďže by daná úloha nedávala zmysel), platí $x_{j}-x_{f}\neq 0$, čiže daný výraz je vždy dobre definovaný.

Celý článok...

39/2011

Riemannov integrál, pomenovaný podľa nemeckého matematika Bernharda Riemanna, je v matematickej analýze historický prvá rigorózna definícia pojmu integrál funkcie na intervale. Aj keď je Riemannov integrál pre niektoré teoretické úlohy menej vhodný, je to jedna z najjednoduchších definícii integrálu. Niektoré z týchto technických ťažkostí sa dajú vyriešiť Riemannovým-Stieltjesovým integrálom a väčšina z nich Lebesgueovým integrálom.

Úvod

Nech $f(x)$ je nezáporná reálna funkcia na intervale $[a,b]$ a nech $S=\{(x,y)|0<y<f(x)\}$ je plocha pod touto funkciou na intervale $[a,b]$ (pozri Obrázok 2). Zaujíma nás obsah plochy $S$. Hneď ako ju vypočítame, označíme ju symbolom:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

Základnou myšlienkou Riemannovho integrálu je použiť veľmi jednoduché aproximácie tejto plochy. Získaním stále lepších a lepších aproximácií môžeme povedať, že "v limite" dostaneme presne plochu $S$ pod krivkou.

Je potrebné poznamenať, že na intervaloch, kde funkcia $f$ môže nadobúdať tak kladné, ako aj záporné hodnoty, integrál bude korešpondovať so znamienkovým obsahom, čiže obsahom plochy nad osou $x$ mínus obsahom plochy pod ňou.

Celý článok...

40/2011

Komplexné čísla sú zovšeobecnením pojmu reálneho čísla. V obore reálnych čísel nemajú všetky polynomiálne rovnice riešenie. Ak sa číslo i definuje ako riešenie rovnice $x^{2}=-1$, potom všetky polynomiálne (algebrické) rovnice riešenie mať budú.

Reálne čísla

Reálne čísla sa nachádzajú v jednom rade usporiadané podľa veľkosti. Tento rad reálnych čísel sa nazýva číselná os. Číselná os má rozmedzie od mínus nekonečna až po plus nekonečno. Túto os je možné predstaviť si ako priamku, ktorá leží v rovine. Logicky tak vznikne možnosť, že aj v iných bodoch roviny okrem bodov tejto priamky je možné nájsť nejaké čísla.

Imaginárne čísla

V iných miestach roviny sa nachádzajú čísla, ktoré nazývame imaginárne čísla. Spolu so všetkými reálnymi číslami tvoria množinu všetkých komplexných čísel. Definoval ich nemecký matematik Gauss a podľa neho sa aj táto rovina čísel pomenovala Gaussova rovina. Túto rovinu rozdeľujú dve osi — už spomínaná číselná os, ktorá sa v grafoch stotožňuje s osou x (reálna os) a na ňu kolmú os y (imaginárna os). Obe tieto osi sa pretínajú v bode [0;0].

Celý článok...

41/2011

%

Percento je stotina z celku. Je to spôsob ako vyjadriť časť celku (čiže zlomok) pomocou celého čísla. Zápis napr. „45 %“ (45 percent) je v skutočnosti iba skratka pre zlomok 45/100, tzn. desatinné číslo 0,45. Názov pochádza z per cento, znamenajúceho (pripadajúci) na sto.

Príklady použitia

• 40% alkohol – V každom litri tejto tekutiny je 0,4 litra alkoholu (a zvyšok, čiže 60%, tvoria iné látky – tzv. objemové percento)
• 15% zvýšenie ceny – Po tomto zvýšení stojí daná vec 1,15-násobok pôvodnej ceny; ak bola predtým cena 100 Sk, po zvýšení bude stáť 115 Sk.
• 15% zľava – Po zľave stojí vec 0,85-násobok (= 1 − 0,15) pôvodnej ceny; ak pred zľavou stála 100 Sk, po zľave stojí 85 Sk.
• 125 % priemeru – Daný parameter má hodnotu rovnú 1,25-násobku priemernej hodnoty; ak je priemer 200, má tento parameter hodnotu 250.
• 10 % ľudí… – Na každých 100 ľudí pripadá 10 ľudí, ktorí…
• 100% istota – Úplná istota, ak je pokusov sto, tak všetkých sto pokusov dopadne podľa daného očakávania (pozri aj pravdepodobnosť).
• 50 % – 50/100 = 1/2 = polovica
• 200 % – 200/100 = dvojnásobok

Označenie

Znak „%“ je štylizovaný symbol dvoch núl, v pôvodnej podobe (asi roku 1425) bol využitý podobný symbol (iba s vodorovnou čiarkou namiesto šikmej) pre skrátenie zápisu P cento; písmeno P neskôr vypadlo a používal sa samostatný symbol s vodorovnou čiarkou (asi roku 1650).

V slovenčine sa použitie znaku percenta riadi rovnakými pravidlami ako napr. symbol stupňa, takže napr. 10% (bez medzery medzi číslom a symbolom) znamená desaťpercentný (tzn. prídavné meno), 10 % (s medzerou) znamená desať percent (podstatné meno).

Celý článok...

42/2011

Riemannova zeta funkcia alebo Riemannova funkcia zeta je komplexná matematická funkcia pomenovaná po Bernhardovi Riemannovi a označovaná gréckym písmenom ζ, zohrávajúca mimoriadne dôležitú úlohu v analytickej teórii čísel. Má aplikácie aj vo fyzike, v teórii pravdepodobnosti a štatistike. Je ústredným pojmom v tzv. Riemannovej hypotéze, ktorá je jedným z najznámejších otvorených problémov v matematike.

Definícia

Riemannova zeta funkcia je definovaná ako súčet nekonečného radu

$\zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},$

ktorý konverguje pre všetky komplexné čísla s, ktorých reálna časť je väčšia ako 1. Riemann ale navrhol spôsob, ktorým je možné túto definíciu rozšíriť na všetky čísla komplexnej roviny rôzne od 1.

Riemannova zeta funkcia je meromorfná funkcia komplexnej premennej s, ktorá je holomorfná všade okrem bodu s = 1.

Celý článok...

43/2011

Integrálna rovnica je v matematike rovnica, v ktorej sa neznáma funkcia nachádza pod integrálom. Integrálne rovnice úzko súvisia s diferenciálnymi rovnicami a niektoré problémy môžu byť formulované oboma spôsobmi (napr. Maxwellove rovnice).

Za zakladateľa teórie integrálnych rovníc sa považuje Erik Ivar Fredholm, neskôr k nej významne prispel Vito Volterra.

Klasifikácia integrálnych rovníc

Integrálne rovnice možno rozdeliť na dve základné triedy: Fredholmove integrálne rovnice a Volterrove integrálne rovnice. Pri Fredholmových rovniciach má interval integrácie konštantné hranice, pri Volterrových rovniciach je jedna z hraníc funkciou premennej x.

Ďalšie delenie je na rovnice prvého a druhého druhu. V rovniciach prvého druhu sa neznáma funkcia nachádza len pod integrálom, v rovniciach druhého druhu sa nachádza pod integrálom aj mimo integrálu.

Fredholmove rovnice prvého druhu

Najzákladnejším typom integrálnych rovníc sú Fredholmove rovnice prvého druhu. Sú to integrálne rovnice tvaru

$f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt,$

kde $\varphi$ je neznáma funkcia, f je známa funkcia a K je ďalšia funkcia o dvoch premenných, často nazývaná aj jadrová funkcia. Rozsah integrácie má konštantné hranice.

Celý článok...

44/2011

Kombinácia, presnejšie kombinácia k – tej triedy z n prvkov množiny M je ľubovoľná k-prvková podmnožina n-prvkovej množiny M. Počet všetkých kombinácií k-tej triedy sa teda často využíva pri riešení úloh, kde je potrebné zistiť, koľkými spôsobmi možno vybrať spomedzi n prvkov skupinu k prvkov, pričom nezáleží na poradí výberu.

Takto definované kombinácie sa niekedy tiež označujú ako kobinácie bez opakovania, keďže koncept množiny a podmnožiny neumožňuje zachytiť fenomén opakovania prvkov. Existujú však aj kombinácie s opakovaním, ktorých počet je počet možností, ako vybrať k prvkov spomedzi n tak, že sa môžu aj opakovať.

Kombinácie bez opakovania

Definícia

Kombinácie bez opakovania k-tej triedy z n prvkov množiny M je ľubovoľná k-prvková podmnožina množiny M. Z toho vyplýva, že množinu všetkých kombinácií k-tej triedy z množiny M definujeme ako podmnožinu potenčnej množiny množiny M (označujeme P(M)) takú, že obsahuje práve všetky k-prvkové množiny patriace do tejto potenčnej množiny. Takúto podmnožinu označujeme $P_{k}(M)$. Platí teda, že množina všetkých kombinácií bez opakovania k-tej triedy z množiny M je definovaná ako:

${M \choose k}=P_{k}(M)$

Celý článok...

45/2011

Fraktál je geometrický objekt vybudovaný pomocou rekurzie. Ide o "nepravidelný, fragmentovaný geometrický tvar, ktorý môže byť rozdelený na časti, z ktorých je každá aspoň približne podobná, zmenšená kópia celého geometrického tvaru". Táto vlastnosť tiež býva nazývaná sebepodobnosť.

Najznámejšie fraktály sú Mandelbrotova množina a Juliova množina. Fraktály delíme na prírodné, geometrické, komplexné a náhodné. Termín fraktál použil po prvýkrát matematik Benoît Mandelbrot v roku 1975. Toto slovo pochádza z latinského fractus – rozbitý. Podobné objekty boli známe už aj dlho predtým (napríklad Kochova vločka v roku 1904).

Fraktály sú definované pomerne krátkou rekurzívnou definíciou, ako zakresliť ich body nad množinou komplexných čísel. Ide o objekt, ktorého Hausdorffova miera je väčšia než topologická dimenzia. To znamená, že fraktál nemá ako kocka 3 dimenzie (rozmery), ale jeho dimenzia je zväčša neceločíselná. Obsah fraktálov (resp. objem) je konečný, no ich obvod (resp. povrch) je nekonečný ^{[chýba zdroj]}. Ide o jedny z najzložitejších geometrických objektov, ktoré súčasná matematika skúma a majú často prekvapivo jednoduchú matematickú štruktúru.

Vlastnosťami fraktálov a ich opisom sa zaoberá vedný obor matematiky nazvaný fraktálna geometria, ktorá sa zaoberá nepravidelnosťou objektu.

Druhy fraktálov

Sú známe tieto druhy fraktálnych útvarov:

1. L-systémy
2. IFS
3. TEA
4. Náhodné fraktály
5. Prírodné fraktály – Veľa prírodných tvarov je možné modelovať fraktálnou geometriou, napríklad hory, mraky, snehové vločky, rieky alebo cievny systém. Preto sa často tvary stromov a papradí v prírode modelujú na počítačoch použitím rekurzívnych algoritmov.

Celý článok...

46/2011

Lineárny funkcionál alebo lineárna forma alebo konvektor je v matematike lineárne zobrazenie z množiny vektorov daného vektorového priestoru do množiny jeho skalárov. Inými slovami, lineárny funkcionál je funkcionál, ktorý je súčasne lineárnym zobrazením.

Definícia

Nech V je vektorový priestor nad poľom F. Zobrazenie $f:V\to F$ sa nazýva lineárny funkcionál vo V, ak platí:

1. $\forall x,y\in V:f(x+y)=f(x)+f(y),$
2. $\forall x\in V\forall \alpha \in F:f(\alpha \cdot x)=\alpha f(x).$

Tieto dve podmienky možno ekvivalentne prepísať do podmienky

$\forall x,y\in V\forall \alpha ,\beta \in F:f(\alpha \cdot x+\beta \cdot y)=\alpha f(x)+\beta f(y).$

Uvedenú definíciu teda možno preformulovať tak, že f je lineárne zobrazenie z V do F.

Celý článok...

47/2011

Euklidov algoritmus je v teórii čísel algoritmus na určenie najväčšieho spoločného deliteľa dvoch prirodzených čísel. Je pomenovaný podľa starogréckeho matematika Euklida, ktorý ho opísal v siedmej a desiatej knihe svojich Základov.

Algoritmus

Euklidov algoritmus využíva nasledujúcu skutočnosť: ak a je najväčším spoločným deliteľom (označovaný aj NSD(u,v) alebo GCD(u,v)) čísel u,v, potom je aj najväčším spoločným deliteľom čísel v,u-qv pre ľubovoľné q. Tvrdenie možno dokázať nasledujúcim spôsobom. Keďže je a najväčší spoločný deliteľ čísel u,v, musí platiť $u=na$ a $v=ma$, kde a je najväčšie takéto číslo. Potom zrejme

$u-qv=na-qma=(n-mq)a,\,$

čo znamená, že a je spoločným deliteľom čísel v,u-qv pre ľubovoľné q. Zostáva dokázať, že žiadny väčší spoločný deliteľ neexistuje. Sporom. Nech b > a je spoločný deliteľ v,u-qv. Potom platí v = kb a u-qv = lb. Z toho ale

$u=u-qv+qv=lb+qkb=(l+qk)b,\,$

čo znamená že b je spoločným deliteľom u,v, a keďže b > a, nemôže byť a najväčším spoločným deliteľom u,v, čo je spor s predpokladom.

Špeciálnym prípadom práve dokázaného tvrdenia je tvrdenie: ak a je najväčším spoločným deliteľom u,v, kde $u\geq v$, potom je aj najväčším spoločným deliteľom čísel v a $u{\text{ mod }}v$.

Celý článok...

48/2011

Joseph Louis Lagrange (* 25. január 1736, Turín – † 10. apríl 1813, Paríž) bol taliansko-francúzsky matematik a astronóm, jeden zo zakladateľov variačného počtu. Nesmierne významný je jeho prínos v rôznych oblastiach matematiky a fyziky – napr. v matematickej analýze, teórii čísel, klasickej mechanike, či nebeskej mechanike.

Bol členom Parížskej akadémie vied. Dosiahol pozoruhodné výsledky v matematike (vo variačnom počte), mechanike a sférickej astronómii. Rozriešil mnohé problémy, ktorými sa zaoberali Euler, Newton a Bernoulliovci.

Život

Začiatky

Lagrange sa narodil v Turíne ako Giuseppe Lodovico Lagrangia. Jeho predkovia boli francúzskeho, ako aj talianskeho pôvodu. Vysokú školu vyštudoval v Turíne.

Do svojich sedemnástich rokov Lagrange neprejavoval o matematiku žiadny zvláštny záujem. Zaoberať sa s ňou údajne začal až potom, čo náhodou natrafil na odborný článok od Edmunda Halleyho. Dezorientovaný a bez jasného cieľa sa vrhol na štúdium matematiky a po roku nepretržitej práce už bol uznávaným matematikom a učiteľom na vojenskej škole.

Celý článok...

49/2011

Rungeho jav je v numerickej matematike názov pre problém, ktorý vzniká pri interpolácii polynómom vyššieho stupňa. Je pomenovaný po Carlovi Davidovi Tolméovi Rungeovi, ktorý ho objavil, keď skúmal chybu polynomiálnej interpolácie istej triedy funkcií, dnes známych ako Rungeho funkcie. Tento jav je podobný Gibbsovmu javu pri Fourierových radoch.

Problém

Uvažujme funkciu:

$f(x)={\frac {1}{1+25x^{2}}}.\,$

Runge objavil, že pokiaľ sa táto funkcia (nazývaná aj Rungeho funkcia) interpoluje na intervale $<-1;1>$ pomocou ekvidištančných uzlov $x_{i}$, teda

$x_{i}=-1+(i-1){\frac {2}{n}},\quad i\in \left\{1,2,\dots ,n+1\right\},$

polynómom P_n(x) stupňa n, výsledná interpolačná krivka v okolí krajov intervalu (teda bodov −1 a 1) silne osciluje (čím narastá chyba interpolácie). Dá sa dokázať, že chyba interpolácie speje s rastúcim stupňom polynómu do nekonečna, teda platí:

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\max _{-1\leq x\leq 1}|f(x)-P_{n}(x)|\right)=+\infty .$

Na druhej strane však Weierstrassova veta o aproximácii hovorí, že existuje postupnosť aproximujúcich polynómov, pre ktoré sa chyba limitne blíži k nule. Z toho vyplýva, že polynómy vysokého stupňa nemusia byť pri použití ekvidištančných uzlov optimálnym riešením.

Celý článok...

50/2011

V matematike, parciálna derivácia funkcie o viacerých premenných je jej derivácia vzhľadom na jednu z týchto premenných, pričom s ostatnými narábame ako s konštantami (v tomto kontexte je teda opakom úplnej derivácie, kde môžu všetky premenné meniť svoje hodnoty). Parciálne derivácie sa využívajú vo vektorovom počte a v diferenciálnej geometrii.

Parciálna derivácia funkcie f vzhľadom na premennú x sa označuje f '_x, ∂_xf, alebo ∂f/∂x. Symbol ∂, označujúci parciálnu deriváciu, je zaobleným písmenom d, ktorým sa zvykne označovať bežná derivácia. Označenie zaviedol Adrien-Marie Legendre, ale všeobecne sa začal uznávať, až po jeho oživení Carlom Gustavom Jacobom Jacobim.

Úvod

Predpokladajme, že f je funkcia o viac ako jednej premennej, napríklad:

$z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,$

Je zložité určiť deriváciu takejto funkcie, keďže v každom bode tejto plochy existuje nekonečne veľa dotyčníc. Nájsť parciálnu deriváciu takejto funkcie vlastne znamená vybrať jednu z takýchto dotyčníc a určiť jej sklon. Zvyčajne nás najviac zaujíma dotyčnica, ktorá leží v rovine rovnobežnej so súradnicovou rovinou (y,z) alebo so súradnicovou rovinou (x,z).

Dobrý spôsob, ako nájsť takéto dotyčnice je považovať ostatné premenné za konštanty. Napríklad, ak vo vyššie uvedenej funkcii hodláme nájsť dotyčnicu ku krivke plochy, ktorá prechádza bodom (1, 1, 3), a ktorá leží v rovine rovnobežnej so súradnicovou rovinou (x,z), považujeme y za konštantu. Graf uvažovanej funkcie leží v rovine (y= 1) a je zobrazený na prvom obrázku. Na obrázku pod ním je rez grafom funkcie pre y= 1. Nájdením bežnej derivácie funkcie o jednej premennej, ktorá je zadaná vyššie uvedeným predpisom, pričom y považujeme za konštantu získame rovnicu požadovanej dotyčnice funkcie f rovnobežnej s osou x:

${\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y$

Teda v bode (1, 1, 3), je hodnota parciálnej derivácie (a teda aj tangens požadovanej dotyčnice) rovná 3 (tento poznatok získame substitúciou). Teda môžeme položiť, že

${\frac {\partial z}{\partial x}}=3$

v bode (1, 1, 3).

Celý článok...

51/2011

Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces (iné názvy: Gramov-Schmidtov proces ortogonalizácie, Gramova-Schmidtova ortogonalizácia) je proces, ktorým z množiny lineárne nezávislých vektorov priestoru vytvárame jeho ortonormálnu bázu. Ortonormálna báza sa vyznačuje vlastnosťou, že jej vektory majú normovanú jednotkovú dĺžku a navzájom sú ortogonálne. Vektorový priestor dimenzie n môže byť všeobecne generovaný ľubovoľnou n-ticou lineárne nezávislých vektorov. Tieto však majú rôznu orientáciu a nejednotnú dĺžku (normu). Na odstránenie respektíve normalizáciu sa využíva práve spomínaný Gram-Schimdtov ortogonalizačný proces.

Postup ortogonalizácie

V prvom kroku Gramovho-Schmidtovho ortogonalizačného procesu sa pokladá za základ prvý vektor z množiny vektorov, ktoré normalizujeme. Podľa tohto vektora sa odvíja orientácia zvyšných. Ďalším krokom je samotná ortogonalizácia vektorov, a nakoniec normalizácia vektorov. Pre zjednodušenie výpočtov sa vektory normalizujú až na koniec procesu. Tento proces možno popísať ako rekurentný proces.

Vlastnosti a vzťahy

Nech ${\mathcal {M}}={\text{span}}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\cdots ,\mathbf {x} _{n})$ je vektorový priestor, ktorý je generovaný lineárne nezávislými vektormi $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\cdots ,\mathbf {x} _{n}$. To, že vektory sú lineárne nezávislé znamená, že existuje len triviálna nulová kombinácia koeficientov $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{n}$, že systém $\mathbf {X} \mathbf {c} =0$ má riešenie. Hľadáme také vektory $\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\cdots ,\mathbf {y} _{n}$ s vlastnosťou

$(\mathbf {q} _{i},\mathbf {q} _{j})=\left\{{\begin{array}{ll}1\,;&i=j\\0\,;&i\neq j\end{array}}\right.$

Odtiaľ vyplýva, že vektory musia byť ortogonálne a musia mať jednotkovú dĺžku. Tieto už budú priamo tvoriť bázu konkrétneho vektorového priestoru.

Celý článok...

52/2011

Komplexná analýza alebo teória funkcií komplexnej premennej alebo teória funkcií je oblasť matematiky (presnejšie matematickej analýzy), ktorá študuje funkcie definované v obore komplexných čísel. Komplexná analýza má praktické použitie vo viacerých oblastiach matematiky, napríklad v teórii čísel a aplikovanej matematike, ale aj vo fyzike.

Zvláštnym predmetom záujmu komplexnej analýzy sú analytické funkcie komplexnej premennej (alebo, všeobecnejšie, meromorfné funkcie). Keďže reálna aj imaginárna zložka ľubovoľnej analytickej funkcie vyhovuje Laplaceovej rovnici, je komplexná analýza aplikovateľná na dvojrozmerné problémy vo fyzike.

Dejiny

Komplexná analýza je jedným z klasických odvetví matematiky s koreňmi v 19. storočí a neskoršom 18. storočí. Pri jej vzniku a formovaní zohrávali rozhodujúcu úlohu mená ako Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, Bernhard Riemann, Augustin Louis Cauchy, či Karl Weierstrass. Komplexná analýza, a najmä teória konformných zobrazení bola vždy známa množstvom praktických aplikácií vo fyzike, ale aj analytickej teórii čísel. V súčasnosti sa komplexná analýza stala značne populárnou najmä vďaka vzniku komplexnej dynamiky a počítačových vizualizácií komplexných fraktálov, ktoré vzniknú iteráciou holomorfných funkcií. Najznámejším príkladom komplexného fraktálu je Mandelbrotova množina. Medzi moderné aplikácie komplexnej analýzy patrí jej použitie v teórii strún.

Celý článok...